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Symétries continues
451 pages. Temps de lecture estimé 5h38min.
Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.I Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 291 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32***********II Notions sur la théorie des groupes 37A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 571 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58***********III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 971 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 972 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . 993 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1014 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102***********IV Représentations induites dans l’espace des états 105A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1271 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1331 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137***********V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 1711 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173BV Groupe des déplacements géométriques 1771 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 1782 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190CV Groupe de Lorentz propre 2011 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2073 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211DV Réflexions d’espace (parité) 2131 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2153 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217***********VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234AVI Lagrangiens des équations d’onde 2451 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249***********VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 2971 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 2972 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 2993 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3015 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303***********VIII Transformation des observables par rotation 305A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 3551 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3594 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 3616 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3627 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 3671 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 3672 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369CVIII Les moments multipolaires 3731 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 3742 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 3873 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393***********IX Groupes SU(2) et SU(3) 399A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 4491 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 4492 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 4513 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 4551 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4552 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459***********X Brisures de symétrie 461A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469APPENDICE 477I Le renversement du temps 4771 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 4782 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 4833 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 4914 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 4985 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
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